ملخص الدوال الحقيقية الرئيسة (الأم) والتحويلات الهندسية - رياضيات الرابع العلمي (المنهج الجديد)
إعداد الأستاذ: حسين عبد الحميد صالح
رياضيات الرابع العلمي
نضع بين أيدي طلبة الصف الرابع العلمي ملخصاً شاملاً ومركزاً لموضوع "الدوال الحقيقية الرئيسة والتحويلات الهندسية" وفق مفردات المنهج الجديد. يشتمل هذا الدليل على تعريف الدالة الحقيقية، تحديد المجال (Domain) والمدى (Range) لجميع الدوال الأم (الثابتة، المحايدة، الجذرية، النسبية، الدرجية، التربيعية، والتكعيبية)، مع القوانين الهندسية لعمليات الانسحاب والانعكاس على محاور الإحداثيات.
أولاً: تمهيد ومفهوم الدالة الحقيقية ومكوناتها
• مفهوم الدالة: هي علاقة رياضية من مجموعة المجال إلى مجموعة المجال المقابل، بحيث يرتبط كل عنصر في المجال بصورة وحيدة فقط في المجال المقابل.
• الرموز الأساسية: يُرمز للدوال بـ f(x) أو g(x) أو h(x) حيث y = f(x)، والتطبيق f: X ➔ Y.
- مجموعة X تمثل المجال (Domain).
- مجموعة Y تمثل المجال المقابل (Co-Domain).
- مجموعة الصور الفعلية الناتجة تمثل المدى (Range).
- مجموعة X تمثل المجال (Domain).
- مجموعة Y تمثل المجال المقابل (Co-Domain).
- مجموعة الصور الفعلية الناتجة تمثل المدى (Range).
• الدالة الحقيقية (Real Function): تسمى الدالة حقيقية إذا كان مجالها ومجالها المقابل مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية R.
• الدوال الرئيسة (Parent Functions): هي أبسط صورة في عوائل الدوال، وتسمى "الدوال الأم" لأنها تمثل الأساس الذي تتولد منه بقية الدوال عبر التحويلات الهندسية.
ثانياً: دراسة تفصيلية للدوال الحقيقية الرئيسة (الأم)
1. الدالة الثابتة (Constant Function)
f(x) = c , c ∈ R
• المجال (Domain): R = (-∞ , ∞).
• المدى (Range): { c } مجموعة أحادية تحتوي الثابت فقط.
• الرسم البياني: خط مستقيم أفقي يوازي محور السينات (x) ويمر بالنقطة (0 , c).
• مثال: f(x) = 2 ؛ مجالها R ومداها { 2 }، وتمثل بمستقيم أفقي يقطع محور الصادات عند y = 2.
2. الدالة المحايدة (Identity Function)
f(x) = x (أي y = x)
• المجال والمدى: المجال = R ، والمدى = R.
• الخصائص: جميع نقاط منحنى الدالة تكون إحداثياتها متطابقة من الشكل (a , a)، مثل: (0,0)، (1,1)، (2,2)، (-1,-1).
• الرسم البياني: مستقيم يمر بنقطة الأصل (0,0) وينصف الربعين الأول والثالث بزاوية 45 درجة.
3. دالة الجذر التربيعي (Square Root Function)
f(x) = √x
• المجال (Domain): { x ∈ R : x ≥ 0 } أي الفترة [0 , ∞) لأن القيمة تحت الجذر يجب أن تكون غير سالبة.
• المدى (Range): [0 , ∞).
• نقاط أساسية للرسم: (0 , 0) ، (1 , 1) ، (4 , 2) ، (9 , 3). يبدأ المنحنى من نقطة الأصل ويمتد مقوساً في الربع الأول.
4. الدالة النسبية / دالة المقلوب (Reciprocal Function)
f(x) = 1 / x , شرط: x ≠ 0
• المجال (Domain): R \ {0} = { x ∈ R : x ≠ 0 }.
• المدى (Range): R \ {0}.
• التناظر: متماثلة حول نقطة الأصل (دالة فردية). الدالة لا تلمس المحورين الإحداثيين بل تتقارب منهما (خطوط تقارب).
• النقاط: (1 , 1) ، (2 , 1/2) ، (3 , 1/3) بالربع الأول، ونظيراتها (-1 , -1) ، (-2 , -1/2) بالربع الثالث.
5. الدالة السُّلّمية / دالة أكبر عدد صحيح (Step Function)
f(x) = [[x]] = n ⟺ n ≤ x < n + 1 , n ∈ Z , x ∈ R
• المفهوم: تأخذ أكبر عدد صحيح يكون أصغر من أو يساوي x.
• المجال والمدى: المجال = R ، والمدى = مجموعة الأعداد الصحيحة Z.
• قواعد استخراج القيم بالأمثلة:
1) العدد الصحيح صورته نفسه: [[5]] = 5 ، [[0]] = 0 ، [[-3]] = -3.
2) الكسر العشري الموجب صورته العدد الصحيح السابق له: [[2.91]] = 2 ، [[0.831]] = 0.
3) الكسر العشري السالب صورته العدد الصحيح الأصغر منه: [[-2.7]] = -3 ، [[-0.68]] = -1.
1) العدد الصحيح صورته نفسه: [[5]] = 5 ، [[0]] = 0 ، [[-3]] = -3.
2) الكسر العشري الموجب صورته العدد الصحيح السابق له: [[2.91]] = 2 ، [[0.831]] = 0.
3) الكسر العشري السالب صورته العدد الصحيح الأصغر منه: [[-2.7]] = -3 ، [[-0.68]] = -1.
6. الدالة التربيعية (Quadratic Function)
f(x) = x² , f: R ➔ R
• المجال: R = (-∞ , ∞).
• المدى: [0 , ∞).
• الخصائص الهندسية: رأس المنحنى عند نقطة الأصل (0 , 0)، متناظرة تماماً حول محور الصادات y (دالة زوجية)، وتقطع المحورين في (0 , 0).
• نقاط الرسم: (-2 , 4) ، (-1 , 1) ، (0 , 0) ، (1 , 1) ، (2 , 4).
7. الدالة التكعيبية (Cubic Function)
f(x) = x³ , f: R ➔ R
• المجال والمدى: المجال = R ، والمدى = R.
• الخصائص الهندسية: دالة مستمرة، تمر بنقطة الأصل (0 , 0) وهي نقطة انقلاب للمنحنى، متناظرة حول نقطة الأصل لأن f(-x) = -f(x). يمر فرعها الموجب في الربع الأول وفرعها السالب في الربع الثالث.
• نقاط الرسم: (-2 , -8) ، (-1 , -1) , (0 , 0) ، (1 , 1) ، (2 , 8).
ثالثاً: جدول ملخص المقارنة بين الدوال الرئيسة (الأم)
| اسم الدالة | القاعدة f(x) | المجال (Domain) | المدى (Range) |
|---|---|---|---|
| الدالة الثابتة | c | R | { c } |
| الدالة المحايدة | x | R | R |
| الجذر التربيعي | √x | [0 , ∞) | [0 , ∞) |
| دالة المقلوب | 1 / x | R \ {0} | R \ {0} |
| الدالة السلمية | [[x]] | R | Z |
| الدالة التربيعية | x² | R | [0 , ∞) |
| الدالة التكعيبية | x³ | R | R |
رابعاً: التحويلات الهندسية (الانسحاب والانعكاس)
1. ملخص الانسحاب (Translation) للدالتين التربيعية والتكعيبية:
• إزاحة رأسية (أعلى / أسفل): تكون الإضافة خارج التربيع أو التكعيب وتطابق الإشارة:
- x² + k أو x³ + k ⟵ إزاحة للأعلى بمقدار k وحدة.
- x² - k أو x³ - k ⟵ إزاحة للأسفل بمقدار k وحدة.
- x² + k أو x³ + k ⟵ إزاحة للأعلى بمقدار k وحدة.
- x² - k أو x³ - k ⟵ إزاحة للأسفل بمقدار k وحدة.
• إزاحة أفقية (يمين / يسار): تكون الإضافة داخل القوس وتخالف الإشارة:
- (x + b)² أو (x + b)³ ⟵ إزاحة لجهة اليسار بمقدار b وحدة.
- (x - b)² أو (x - b)³ ⟵ إزاحة لجهة اليمين بمقدار b وحدة.
- (x + b)² أو (x + b)³ ⟵ إزاحة لجهة اليسار بمقدار b وحدة.
- (x - b)² أو (x - b)³ ⟵ إزاحة لجهة اليمين بمقدار b وحدة.
2. ملخص الانعكاس (Reflection):
• انعكاس حول محور السينات (x): إذا ضُربت الإشارة السالبة خارج الدالة (أعلى وأسفل):
f(x) = -x² أو f(x) = -x³
ينقلب المنحنى رأسياً بحيث تنعكس فتحة القطع من الأعلى إلى الأسفل.
• انعكاس حول محور الصادات (y): إذا ضُربت الإشارة السالبة داخل الدالة مع المتغير x (يمين ويسار):
f(x) = (-x)² أو f(x) = (-x)³
خامساً: القاعدة العامة الشاملة لجميع التحويلات الهندسية
الصيغة الشاملة للتحويلات (تصلح لجميع الدوال الرئيسة):
f(x) = ± a ( ± x ∓ h )² ± k
• الإشارة السالبة الأولى خارج القوس: تمثل انعكاساً حول محور السينات (x).
• الإشارة السالبة أمام x داخل القوس: تمثل انعكاساً حول محور الصادات (y).
• العدد داخل القوس (± h): إزاحة أفقية عكس الإشارة (+ لليسار ، - لليمين).
• العدد خارج القوس (± k): إزاحة رأسية بنفس الإشارة (+ للأعلى ، - للأسفل).
• الإشارة السالبة أمام x داخل القوس: تمثل انعكاساً حول محور الصادات (y).
• العدد داخل القوس (± h): إزاحة أفقية عكس الإشارة (+ لليسار ، - لليمين).
• العدد خارج القوس (± k): إزاحة رأسية بنفس الإشارة (+ للأعلى ، - للأسفل).
ملخص رياضيات الرابع العلمي - المنهج الجديد | إعداد الأستاذ حسين عبد الحميد صالح | مع تمنياتنا لجميع الطلبة بالتفوق والدرجات العالية.