0

شرح رياضيات الرابع العلمي الفصل الاول الفترات والمتباينات وحلها بالإشارات والدستور المنهج الجديد 2026

الناشر الناشر

الرياضيات للصف الرابع العلمي: الشرح الشامل لـ الفترات والمتباينات

📐

رياضيات الرابع العلمي | إعداد الأستاذ: حسين عبد الحميد صالح

نضع بين أيدي طلبة الصف الرابع العلمي الشرح النموذجي المتكامل لموضوعي الفترات الحقيقية والمتباينات. يغطي هذا الملخص خواص الأعداد الحقيقية (R)، أنواع الفترات المحددة وغير المحددة، العمليات الرياضية (الاتحاد، التقاطع، الفرق، المتممة)، كتابة متباينة القيمة المطلقة من الرسم، بالإضافة إلى خطوات حل متباينات الدرجة الأولى والثانية بالتجربة والقانون العام (الدستور) بطريقة دراسة الإشارات.

💡 قاعدة ذهبية: عند ضرب طرفي المتباينة أو قسمتهما على عدد سالب، يجب حتماً قلب اتجاه إشارة التباين (> تصبح < والعكس).

🔢 تمهيد: الأعداد الحقيقية (Real Numbers) وخواصها

الأعداد الحقيقية (R): هي اتحاد مجموعتي الأعداد النسبية وغير النسبية ويرمز لها بالرمز (R).

جدول خواص الأعداد الحقيقية لكل a, b, c ∈ R:
الخاصية عملية الجمع (+) عملية الضرب (×)
الانغلاق a + b ∈ R a × b ∈ R
التجميعية a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
العنصر المحايد a + 0 = 0 + a = a a × 1 = 1 × a = a
النظير a + (-a) = (-a) + a = 0 a × (1/a) = 1 (a ≠ 0)
التبديلية a + b = b + a a × b = b × a
التوزيع a × (b + c) = ab + ac  |  (b + c) × a = ba + ca

📌 أولاً: الفترات (Intervals)

• تعريف الفترة: هي مجموعة كل الأعداد الحقيقية الواقعة بين عددين أو المحددة بهما.
• طرق تمثيل الفترة:
1- طريقة الأقواس: [a, b] أو (a, b) أو [a, b) أو (a, b].
2- طريقة ذكر الصفة المميزة: مثل { x ∈ R : a ≤ x ≤ b }.
3- التمثيل على خط الأعداد الحقيقية: باستخدام الدائرة المظللة (المغلقة) والدائرة غير المظللة (المفتوحة).
أ) الفترات المحددة بعددين [a, b]:
نوع الفترة الرمز الصفة المميزة التوضيح البياني
المغلقة [a, b] {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} العددان a و b داخلان بالفترة (دائرتان ممتلئتان)
المفتوحة (a, b) {x ∈ R : a < x < b} العددان a و b غير داخلين بالفترة (فجوتان)
نصف مغلقة [a, b) {x ∈ R : a ≤ x < b} العدد a داخل بالفترة والعدد b غير داخل
نصف مفتوحة (a, b] {x ∈ R : a < x ≤ b} العدد a غير داخل بالفترة والعدد b داخل
ب) الفترات غير المحددة (الممتدة إلى ما لا نهاية):
الفترة الصفة المميزة اتجاه خط الأعداد
[a, ∞) {x ∈ R : x ≥ a} تبدأ من a بدائرة مغلقة باتجاه اليمين نحو +∞
(a, ∞) {x ∈ R : x > a} تبدأ من a بدائرة مفتوحة باتجاه اليمين نحو +∞
(-∞, b] {x ∈ R : x ≤ b} تنتهي عند b بدائرة مغلقة باتجاه اليسار نحو -∞
(-∞, b) {x ∈ R : x < b} تنتهي عند b بدائرة مفتوحة باتجاه اليسار نحو -∞
مجموعة الأعداد الحقيقية كاملة: R = (-∞, +∞)

⚙️ العمليات على الفترات (مثال شامل محلول)

لتكن R هي المجموعة الشاملة للفترات:

- A ∩ B (التقاطع): مجموعة الأعداد الحقيقية المشتركة بين الفترتين.
- A ∪ B (الاتحاد): مجموعة الأعداد الموجودة في إحدى الفترتين أو كلاهما.
- A - B (الفرق): مجموعة الأعداد الموجودة في A وغير الموجودة في B.
- Ac = R - A (المتممة): مجموعة الأعداد الموجودة في R وغير الموجودة في A.
📝 تمرين محلول: لتكن A = [0, 5] ، B = [-3, 2]. جد ما يلي:
1) A ∪ B = [-3, 5]
2) A ∩ B = [0, 2]
3) A - B = (2, 5]   (العدد 2 ينتمي لـ B لذا يستثنى من الفرق ويكون مفتوحاً)
4) Ac = (-∞, 0) ∪ (5, ∞)

📏 كتابة متباينة القيمة المطلقة من الرسم

خطوات الحل القياسية:
1- نرمز للفترة بالرمز [a, b] حيث a هو الأصغر (اليسار) و b هو الأكبر (اليمين).
2- نجد نصف قطر الفترة (r) بالقانون: r = (b - a) / 2
3- نجد مركز الفترة (c) بالقانون: c = b - r
4- تكتب بالصيغة: |x - c| < r (إذا كان التظليل بين العددين فهو أصغر، وإذا كان على الأطراف فهو أكبر).
مثال: اكتب متباينة القيمة المطلقة للفترة المظللة بين -2 و 2 (بدائرتين مفتوحتين):
• [a, b] = (-2, 2) ⬅️ a = -2 , b = 2
• r = [2 - (-2)] / 2 = (2 + 2) / 2 = 4 / 2 = 2
• c = b - r = 2 - 2 = 0
• الصيغة: |x - c| < r ⬅️ |x - 0| < 2 ⬅️ |x| < 2

📌 ثانياً: المتباينات (Inequalities)

• تعريف المتباينة: هي جملة رياضية تحوي إحدى أدوات التفاضل { > ، < ، ≥ ، ≤ }.
• طريقة حل متباينة الدرجة الأولى:
- نتخلص من الأقواس والكسور بضرب المتباينة بالمضاعف المشترك للأصغر للمقامات.
- ننقل المتغيرات إلى الجهة اليسرى والأعداد إلى الجهة اليمنى مع تغيير الإشارة.
- نقسم على معامل المتغير، وتكتب مجموعة الحل: S = { x : x ≥ a }.
- تمثيل الحل: دائرة مفتوحة عند عدم وجود مساواة، ودائرة مظللة (مغلقة) عند وجود مساواة (≤ أو ≥).

🎯 حل متباينة الدرجة الثانية باستعمال الإشارات

تأتي بالصورة: ax2 + bx + c ≤ 0 (أو ≥ 0 أو > 0 أو < 0).
طريقة الحل: نحول المتباينة إلى معادلة تربيعية ونجد الجذور إما بـ التحليل إلى العوامل (التجربة) أو بـ القانون العام (الدستور)، ثم نعين خطين للأعداد لتمثيل إشارة كل قوس وخط ثالث لحاصل ضرب الإشارات.

مثال 1: جد مجموعة حل المتباينة التربيعية: x2 - x - 6 ≤ 0
1) نحول المتباينة إلى معادلة: x2 - x - 6 = 0
2) بالتحليل بالتجربة: (x - 3)(x + 2) = 0 ⬅️ إما x = 3 أو x = -2
3) دراسة الإشارات:
- إشارة القوس (x - 3): سالبة يسار العدد 3، وموجبة يمينه.
- إشارة القوس (x + 2): سالبة يسار العدد -2، وموجبة يمينه.
- حاصل ضرب الإشارتين (x - 3)(x + 2):
  • في الفترة (-∞, -2): موجب (+)
  • في الفترة (-2, 3): سالب (-)
  • في الفترة (3, ∞): موجب (+)
4) بما أن المتباينة الأصلية تطلب ≤ 0 (المناطق السالبة والصفر):
مجموعة الحل هي الفترة المغلقة: S = [-2, 3]
مثال 2: حل المتباينة التربيعية باستعمال الدستور والإشارات: 3x2 - 2x - 8 ≥ 0
1) نساويها بالصفر: 3x2 - 2x - 8 = 0 ⬅️ المعاملات: a = 3 , b = -2 , c = -8
2) تطبيق قانون الدستور:
x = [ -b ± √(b2 - 4ac) ] / (2a)
x = [ -(-2) ± √((-2)2 - 4(3)(-8)) ] / [2(3)]
x = [ 2 ± √(4 + 96) ] / 6 = [ 2 ± √100 ] / 6 = (2 ± 10) / 6
• إما x = (2 + 10) / 6 = 12 / 6 = 2
• أو x = (2 - 10) / 6 = -8 / 6 = -4/3
3) دراسة الإشارات:
- المقدار موجب في المنطقة أقل من -4/3 وأكبر من 2، وسالب بينهما.
4) بما أن المتباينة تطلب ≥ 0 (المناطق الموجبة مع الصفر):
مجموعة الحل هي: S = (-∞, -4/3] ∪ [2, ∞)
📝 خلاصة قواعد المتباينات التربيعية

- إذا كانت المتباينة ( ≤ 0 ) فإن الحل يكون الفترة المغلقة بين الجذرين: [x1, x2].
- إذا كانت المتباينة ( < 0 ) فإن الحل يكون الفترة المفتوحة بين الجذرين: (x1, x2).
- إذا كانت المتباينة ( ≥ 0 ) فإن الحل يكون اتحاد فترتين خارج الجذرين: (-∞, x1] ∪ [x2, ∞).
- إذا كانت المتباينة ( > 0 ) فإن الحل يكون اتحاد فترتين مفتوحتين: (-∞, x1) ∪ (x2, ∞).

الأستاذ حسين عبد الحميد صالح

📝 الزبدة (أهم نقاط الفصل للرابع العلمي):

✔ الفترات: المغلقة تحوي حافتيها [ ] وتظلل بدوائر ممتلئة، والمفتوحة تستثني الحواف ( ) بدوائر فارغة.
✔ الفرق A - B: العناصر الموجودة في A والمحذوفة تماماً من B، وتتغير حالة القوس عند نقطة الفصل المشتركة.
✔ متباينة القيمة المطلقة: نصف القطر r = (b - a)/2، والمركز c = b - r، والصيغة تكون |x - c| < r.
✔ المتباينة التربيعية: تحويلها لمعادلة، إيجاد الجذور بالتجربة أو الدستور، ثم تحديد إشارة كل قوس وضربها لاختيار منطقة الحل المطلوبة.
🚀 هل أعجبك الشرح المبسط للفصل؟

شارك هذا الملخص مع زملائك في مرحلة الرابع العلمي لتعم الفائدة ويتقن الجميع موضوع الفترات والمتباينات بكل سهولة!

الناشر
الناشر

مقالات قد تهمك

تعليقات