أسئلة وحلول امتحان الشهر الأول لمادة الرياضيات - الصف الخامس العلمي (الفصل الأول والثاني)
مدارس الكفاح الأهلية للبنين
امتحان الرياضيات - الخامس العلمي
الزمن: ساعة ونصف
نضع بين أيدي طلبتنا الأعزاء وأولياء الأمور ونخبة المدرسين النموذج الامتحاني لشهر تشرين الأول في مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي، والذي يشمل موضوعات اللوغاريتمات (الفصل الأول) والمتتابعات الحسابية (الفصل الثاني)، مع الحلول النموذجية والشرح الرياضي المفصل لكل سؤال لضمان الفهم الدقيق والتدريب للامتحانات.
السؤال الأول (20 درجة)
(أ) أوجد مجموعة حل المعادلة التالية في ℝ:
log x + log x² + log x³ = 12
الحل النموذجي:
باستخدام خاصية تحويل الجمع إلى ضرب للوغاريتمات ذات الأساس المشترك (10):
باستخدام خاصية تحويل الجمع إلى ضرب للوغاريتمات ذات الأساس المشترك (10):
log (x · x² · x³) = 12
log (x⁶) = 12 ➔ 6 log x = 12
log x = 12 / 6 = 2
بالتحويل إلى الصورة الأسية:
x = 10² = 100
بما أن x = 100 موجب ويحقق شرط اللوغاريتم (x > 0)، فإن:
S = { 100 }
(ب) متتابعة حسابية حدها الرابع U₄ = 17، وحدها العاشر U₁₀ = 41. جد الحد الأول وأساس المتتابعة، ثم جد مجموع أول 15 حداً منها.
الحل النموذجي:
قانون الحد العام: Uₙ = a + (n - 1)d
قانون الحد العام: Uₙ = a + (n - 1)d
U₄ = a + 3d = 17 ---- (1)
U₁₀ = a + 9d = 41 ---- (2)
بطرح المعادلة (1) من المعادلة (2):
6d = 24 ➔ d = 4 (أساس المتتابعة)
بالتعويض في المعادلة (1):
a + 3(4) = 17 ➔ a + 12 = 17 ➔ a = 5 (الحد الأول)
حساب مجموع أول 15 حداً بواسطة قانون المجموع: Sₙ = (n / 2) [2a + (n - 1)d]
S₁₅ = (15 / 2) [2(5) + (14)(4)]
S₁₅ = (15 / 2) [10 + 56] = (15 / 2) · 66 = 15 · 33 = 495
السؤال الثاني (20 درجة)
(أ) أثبت أن:
4 / (log₂ 24) + 4 / (log₄ 24) + 4 / (log₃ 24) = 4
الحل النموذجي:
باستخدام خاصية تبديل الأساس: 1 / (log_b a) = log_a b
باستخدام خاصية تبديل الأساس: 1 / (log_b a) = log_a b
LHS = 4 · log₂₄ 2 + 4 · log₂₄ 4 + 4 · log₂₄ 3
بإخراج 4 عاملاً مشتركاً واستخدام خاصية ضرب اللوغاريتمات:
LHS = 4 · [ log₂₄ 2 + log₂₄ 4 + log₂₄ 3 ]
LHS = 4 · log₂₄ (2 · 4 · 3) = 4 · log₂₄ (24)
بما أن log₂₄ (24) = 1:
LHS = 4 · (1) = 4 = RHS (وهو المطلوب)
(ب) متتابعة حسابية حدودها كلها سالبة، وحدها الأول a = -4، وأساسها d = -3. جد عدد الحدود التي يكون مجموعها -175، إن أمكن.
الحل النموذجي:
قانون المجموع: Sₙ = (n / 2) [2a + (n - 1)d]
قانون المجموع: Sₙ = (n / 2) [2a + (n - 1)d]
-175 = (n / 2) [2(-4) + (n - 1)(-3)]
-350 = n [-8 - 3n + 3] ➔ -350 = n [-3n - 5]
-350 = -3n² - 5n ➔ 3n² + 5n - 350 = 0
نحل المعادلة بالتحليل أو بالدستور: (3n + 35)(n - 10) = 0
إما n = 10 (مقبول لأن n ينتمي للأعداد الطبيعية)
أو 3n = -35 ➔ n = -35/3 (يُهمل لأنه سالب وكسر)
إذن عدد الحدود هو: n = 10 حدود.
السؤال الثالث (20 درجة)
(أ) إذا علمت أن: log 3 = 0.4771 ، log 2 = 0.3010 ، جد قيمة كل مما يلي:
1. log 72 | 2. log 0.0003
الحل النموذجي:
• حل فرع 1: تحليل العدد 72 = 8 · 9 = 2³ · 3²
• حل فرع 1: تحليل العدد 72 = 8 · 9 = 2³ · 3²
log 72 = log (2³ · 3²) = 3 log 2 + 2 log 3
= 3(0.3010) + 2(0.4771) = 0.9030 + 0.9542 = 1.8572
• حل فرع 2: كتابة العدد بالصورة العلمية 0.0003 = 3 · 10⁻⁴
log 0.0003 = log (3 · 10⁻⁴) = log 3 + log 10⁻⁴
= 0.4771 - 4 = -3.5229
(ب) جد قيمة x، وما حدها السابع، إذا كانت المتتابعة الآتية حسابية: ⟨ x² + 1 , 2x² + 1 , 2x² + x + 3 , ... ⟩
الحل النموذجي:
بما أن المتتابعة حسابية فإن الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت: U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = d
الحدود: U₁ = 2² + 1 = 5 ، U₂ = 2(4) + 1 = 9 ➔ الأساس d = 9 - 5 = 4
الحد السابع: U₇ = a + 6d = 5 + 6(4) = 5 + 24 = 29.
الحالة الثانية: عند x = -1
الحدود: U₁ = (-1)² + 1 = 2 ، U₂ = 2(1) + 1 = 3 ➔ الأساس d = 3 - 2 = 1
الحد السابع: U₇ = a + 6d = 2 + 6(1) = 2 + 6 = 8.
بما أن المتتابعة حسابية فإن الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت: U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = d
(2x² + 1) - (x² + 1) = (2x² + x + 3) - (2x² + 1)
x² = x + 2 ➔ x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0 ➔ إما x = 2 أو x = -1
الحالة الأولى: عند x = 2الحدود: U₁ = 2² + 1 = 5 ، U₂ = 2(4) + 1 = 9 ➔ الأساس d = 9 - 5 = 4
الحد السابع: U₇ = a + 6d = 5 + 6(4) = 5 + 24 = 29.
الحالة الثانية: عند x = -1
الحدود: U₁ = (-1)² + 1 = 2 ، U₂ = 2(1) + 1 = 3 ➔ الأساس d = 3 - 2 = 1
الحد السابع: U₇ = a + 6d = 2 + 6(1) = 2 + 6 = 8.
السؤال الرابع (20 درجة)
(أ) أوجد مجموعة حل المعادلة التالية في ℝ:
log₃ [2 + log₈(x + 2)] = -1
الحل النموذجي:
بالتحويل للصورة الأسية بالنسبة للأساس 3:
بالتحويل للصورة الأسية بالنسبة للأساس 3:
2 + log₈(x + 2) = 3⁻¹ = 1/3
log₈(x + 2) = 1/3 - 2 = -5/3
بالتحويل للصورة الأسية بالنسبة للأساس 8:
x + 2 = 8^(-5/3) = (2³)^(-5/3) = 2⁻⁵ = 1/32
x = 1/32 - 2 = (1 - 64) / 32 = -63 / 32
التحقق: x + 2 = 1/32 > 0، إذن القيمة مقبولة.S = { -63 / 32 }
(ب) جد مجموع الأعداد الصحيحة المحصورة بين 100 و 400 والتي تقبل القسمة على 3.
الحل النموذجي:
الأعداد المحصورة تقبل القسمة على 3 تبدأ من أول عدد بعد 100 وهو 102، وتنتهي بآخر عدد قبل 400 وهو 399:
المتتابعة الحسابية: ⟨ 102 , 105 , 108 , ... , 399 ⟩
الحد الأول: a = 102 ، الأساس: d = 3 ، الحد الأخير: l = Uₙ = 399
إيجاد عدد الحدود (n):
الأعداد المحصورة تقبل القسمة على 3 تبدأ من أول عدد بعد 100 وهو 102، وتنتهي بآخر عدد قبل 400 وهو 399:
المتتابعة الحسابية: ⟨ 102 , 105 , 108 , ... , 399 ⟩
الحد الأول: a = 102 ، الأساس: d = 3 ، الحد الأخير: l = Uₙ = 399
إيجاد عدد الحدود (n):
Uₙ = a + (n - 1)d ➔ 399 = 102 + 3(n - 1)
297 = 3(n - 1) ➔ n - 1 = 99 ➔ n = 100
حساب المجموع بالقانون المباشر: Sₙ = (n / 2) [a + l]
S₁₀₀ = (100 / 2) [102 + 399] = 50 · 501 = 25,050
السؤال الخامس (20 درجة)
(أ) أثبت أن:
log (11/15) - log 8 + log (490/297) - 2 log (35/9) = -2
الحل النموذجي:
الطرف الأيسر (LHS):
الطرف الأيسر (LHS):
LHS = log (11/15) - log 8 + log (490/297) - log (35/9)²
تحويل الجمع إلى ضرب والطرح إلى قسمة في كسر واحد داخل اللوغاريتم:
LHS = log [ (11/15) · (1/8) · (490/297) · (81 / 1225) ]
بالاختصار الرياضي:
11 / 297 = 1 / 27 ، 81 / 27 = 3 ، 3 / 15 = 1 / 5
490 / 1225 = 14 / 35 = 2 / 5
الناتج داخل القوس:
(1 / 5) · (1 / 8) · (2 / 5) = 2 / 200 = 1 / 100 = 10⁻²
LHS = log (10⁻²) = -2 log 10 = -2(1) = -2 = RHS (وهو المطلوب)
(ب) إذا كانت المتتابعة الحسابية تحقق العلاقتين الآتيتين: a₃ + a₇ = 26 ، a₅ + a₁₁ = 38 ، فجد الحد الأول وأساس المتتابعة، ثم جد مجموع حدودها الخمسة عشر الأولى.
الحل النموذجي:
العلاقة الأولى: (a + 2d) + (a + 6d) = 26
العلاقة الأولى: (a + 2d) + (a + 6d) = 26
2a + 8d = 26 ➔ a + 4d = 13 ---- (1)
العلاقة الثانية: (a + 4d) + (a + 10d) = 38
2a + 14d = 38 ➔ a + 7d = 19 ---- (2)
بطرح (1) من (2):
3d = 6 ➔ d = 2 (الأساس)
بالتعويض في (1):
a + 4(2) = 13 ➔ a + 8 = 13 ➔ a = 5 (الحد الأول)
حساب مجموع 15 حداً الأولى (S₁₅):
S₁₅ = (15 / 2) [2(5) + 14(2)] = (15 / 2) [10 + 28] = (15 / 2) · 38 = 15 · 19 = 285
توجيه منهجي للامتحان: تمثل هذه الأسئلة جوهر اختبارات الفصلين الأول والثاني في رياضيات الخامس العلمي؛ احرص على مراجعة خواص اللوغاريتمات العشرية وتبديل الأساس، وتطبيق قوانين المتتابعة الحسابية (الحد العام وقوانين المجموع) بدقة لنيل الدرجة الكاملة.
نموذج امتحاني معتمد لمادة الرياضيات - الصف الخامس العلمي | مدارس الكفاح الأهلية للبنين.