نماذج أسئلة وحلول امتحان الشهر الأول لمادة الرياضيات - الصف الرابع العلمي (الفصل الأول)
الرياضيات - الصف الرابع العلمي
العام الدراسي: 2026 / 2027
نضع بين أيدي طلبتنا الأعزاء وأولياء الأمور ونخبة المدرسين نماذج امتحانية حقيقية لشهر تشرين الأول (امتحان الشهر الأول - الفصل الأول) في مادة الرياضيات للصف الرابع العلمي المنهج الجديد، مع الحلول النموذجية الكاملة والشرح الرياضي الدقيق لتغطية مواضيع الفترات الحقيقية، متباينات القيمة المطلقة، الدوال الرئيسة (الأم)، الدالة الدرجية السلمية، والمتباينات التربيعية.
النموذج الأول: ثانوية الإمام الحسن المجتبى (ع) للمتفوقين
إعداد الأستاذ: أ. م. د. أحمد حسن حميد
س1 / أجب عن التالي:
A. اكتب متباينة القيمة المطلقة للتمثيل على مستقيم الأعداد (فترة مغلقة بين -4 و 4 مظللة بالكامل).
B. جد أوسع مجال للدوال التالية: (1) f(x) = 3 | (2) f(x) = √(2x - 6) | (3) f(x) = x / √(x + 3)
الحل النموذجي:
• حل فرع A: التمثيل يمثل المنطقة المحصورة بين -4 و 4 مع شمول الطرفين (دوائر ممتلئة)، فالمتباينة هي:
1) دالة ثابتة: أوسع مجال هو R.
2) دالة جذرية: ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر:
• حل فرع A: التمثيل يمثل المنطقة المحصورة بين -4 و 4 مع شمول الطرفين (دوائر ممتلئة)، فالمتباينة هي:
|x| ≤ 4
• حل فرع B:1) دالة ثابتة: أوسع مجال هو R.
2) دالة جذرية: ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر:
2x - 6 ≥ 0 ➔ 2x ≥ 6 ➔ x ≥ 3 ➔ Domain = [3, ∞)
3) دالة كسرية بمقام جذري: ما تحت الجذر في المقام يجب أن يكون أكبر تماماً من الصفر:
x + 3 > 0 ➔ x > -3 ➔ Domain = (-3, ∞)
س2 / أجب عن التالي:
A. عبّر عن التالي بواسطة مستقيم الأعداد وكذلك على صورة فترة:
1) R+ ∩ [-3, 3] | 2) [-4, 7] ∪ [1, 5] | 3) [2, ∞)C
B. بسّط الجملة العددية التالية: √3 ( √3 - √27 )
الحل النموذجي:
• فرع A:
1) بما أن R+ = (0, ∞)، فإن التقاطع مع الفترة المغلقة يعطي: (0, 3].
2) بما أن الفترة [1, 5] تقع بالكامل داخل [-4, 7]، فإن الاتحاد هو: [-4, 7].
3) المتممة للفترة نصف المغلقة [2, ∞) في مجموعة الأعداد الحقيقية R هي: (-∞, 2).
• فرع B (التبسيط):
• فرع A:
1) بما أن R+ = (0, ∞)، فإن التقاطع مع الفترة المغلقة يعطي: (0, 3].
2) بما أن الفترة [1, 5] تقع بالكامل داخل [-4, 7]، فإن الاتحاد هو: [-4, 7].
3) المتممة للفترة نصف المغلقة [2, ∞) في مجموعة الأعداد الحقيقية R هي: (-∞, 2).
• فرع B (التبسيط):
√3 ( √3 - √27 ) = √3 ( √3 - 3√3 ) = √3 ( -2√3 ) = -2(3) = -6
س3 / أجب عن التالي:
A. جد مجموعة الحل للمتباينة التالية على شكل فترة ومثلها على مستقيم الأعداد: 2|3x - 4| - 1 > 5
B. ما نوع الفترة التالية واكتب الصفة المميزة لها: [4, ∞)
الحل النموذجي:
• فرع A: نبسط المتباينة أولاً:
• فرع B: نوع الفترة: نصف مغلقة (شعاع مغلق غير محدود من الأعلى). الصفة المميزة: { x ∈ R : x ≥ 4 }.
• فرع A: نبسط المتباينة أولاً:
2|3x - 4| > 5 + 1 ➔ 2|3x - 4| > 6 ➔ |3x - 4| > 3
بما أنها متباينة أكبر (>)، تتحول إلى أداة ربط (أو):
3x - 4 > 3 ➔ 3x > 7 ➔ x > 7/3 ➔ (7/3, ∞)
3x - 4 < -3 ➔ 3x < 1 ➔ x < 1/3 ➔ (-∞, 1/3)
مجموعة الحل: S = (-∞, 1/3) ∪ (7/3, ∞) = R \ [1/3, 7/3].• فرع B: نوع الفترة: نصف مغلقة (شعاع مغلق غير محدود من الأعلى). الصفة المميزة: { x ∈ R : x ≥ 4 }.
س4 / أجب عن التالي:
A. مثّل الدالة التالية بيانياً وحدد مجالها: f(x) = [[x]] - 1
B. جد القيم التي تجعل الدالة التالية غير معرّفة: f(x) = √(2x - 1)
الحل النموذجي:
• فرع A: دالة درجية (سلمية)، مجالها هو R ومداها هو مجموعة الأعداد الصحيحة Z. تمثيلها البياني هو نفس الدالة الأم [[x]] مع إزاحة رأسية بمقدار وحدة واحدة نحو الأسفل (عند الفترة [0, 1) تكون y = -1، وعند [1, 2) تكون y = 0، وهكذا).
• فرع B: تكون الدالة الجذرية غير معرفة عندما يكون المقدار داخل الجذر سالباً:
• فرع A: دالة درجية (سلمية)، مجالها هو R ومداها هو مجموعة الأعداد الصحيحة Z. تمثيلها البياني هو نفس الدالة الأم [[x]] مع إزاحة رأسية بمقدار وحدة واحدة نحو الأسفل (عند الفترة [0, 1) تكون y = -1، وعند [1, 2) تكون y = 0، وهكذا).
• فرع B: تكون الدالة الجذرية غير معرفة عندما يكون المقدار داخل الجذر سالباً:
2x - 1 < 0 ➔ 2x < 1 ➔ x < 1/2
القيم غير المعرفة هي: { x ∈ R : x < 1/2 } أو الفترة (-∞, 1/2).
س5 / أجب عن التالي:
A. جد مجموعة الحل للمتباينة التربيعية باستعمال الإشارات: -x2 + 6x - 7 ≥ 0
B. حل المتباينة التالية ومثّل الحل بالفترات الحقيقية: x - 8 < -2
الحل النموذجي:
• فرع A: بضرب المتباينة في (-1) تتغير علامة التباين: x2 - 6x + 7 ≤ 0.
نجد الجذور عبر القانون العام (الدستور):
• فرع A: بضرب المتباينة في (-1) تتغير علامة التباين: x2 - 6x + 7 ≤ 0.
نجد الجذور عبر القانون العام (الدستور):
x = [ 6 ± √(36 - 28) ] / 2 = [ 6 ± √8 ] / 2 = 3 ± √2
بدراسة الإشارات، تكون إشارة المقدار سالبة أو صفر بين الجذرين، إذن مجموعة الحل هي الفترة المغلقة:
S = [ 3 - √2 , 3 + √2 ]
• فرع B:
x - 8 < -2 ➔ x < -2 + 8 ➔ x < 6 ➔ (-∞, 6)
النموذج الثاني: امتحان رياضيات الرابع العلمي (الفصل الأول)
س1 / أجب عن الفرعين:
أ) عبّر عن تقاطع واتحاد الفترتين [-4, 1] و (-1, 4) على مستقيم الأعداد على صورة فترة وأيضاً على صورة مجموعة.
ب) جد القيم التي تجعل الدالة غير معرفة في: f(x) = 3 / (2x + 1)
الحل النموذجي:
• فرع أ:
- التقاطع: [-4, 1] ∩ (-1, 4) = (-1, 1] على صورة فترة، وعلى صورة مجموعة: { x ∈ R : -1 < x ≤ 1 }.
- الاتحاد: [-4, 1] ∪ (-1, 4) = [-4, 4) على صورة فترة، وعلى صورة مجموعة: { x ∈ R : -4 ≤ x < 4 }.
• فرع ب: الدالة الكسرية تكون غير معرفة عندما يكون المقام صفراً:
• فرع أ:
- التقاطع: [-4, 1] ∩ (-1, 4) = (-1, 1] على صورة فترة، وعلى صورة مجموعة: { x ∈ R : -1 < x ≤ 1 }.
- الاتحاد: [-4, 1] ∪ (-1, 4) = [-4, 4) على صورة فترة، وعلى صورة مجموعة: { x ∈ R : -4 ≤ x < 4 }.
• فرع ب: الدالة الكسرية تكون غير معرفة عندما يكون المقام صفراً:
2x + 1 = 0 ➔ 2x = -1 ➔ x = -1/2
القيمة التي تجعل الدالة غير معرّفة هي: x = -1/2.
س2 / جد مجموعة الحل للمتباينة التربيعية باستعمال الإشارات:
3x2 - 2x - 8 ≥ 0
الحل النموذجي:
نحلل المعادلة المرتبطة بالتجربة:
مجموعة الحل: S = (-∞, -4/3] ∪ [2, ∞)، أو تُكتب بصيغة: R \ (-4/3, 2).
نحلل المعادلة المرتبطة بالتجربة:
(3x + 4)(x - 2) = 0 ➔ x = -4/3 أو x = 2
بدراسة إشارة المقدار على مستقيم الأعداد، نجد أن المقدار موجب (≥ 0) على جانبي الجذرين ومع الجذرين:مجموعة الحل: S = (-∞, -4/3] ∪ [2, ∞)، أو تُكتب بصيغة: R \ (-4/3, 2).
س3 / أجب عن الفرعين:
أ) جد المجال للدالة: f(x) = 9 / (x - 3)
ب) بسّط العبارات التالية باستعمال الخواص وترتيب العمليات: (1) 3 + (√7 / √7) | (2) (3x + 4)(x - 2)
الحل النموذجي:
• فرع أ: دالة كسرية، نجعل المقام لا يساوي صفراً (x - 3 = 0 ➔ x = 3)، إذن أوسع مجال للدالة هو: R \ {3}.
• فرع ب:
1) 3 + (√7 / √7) = 3 + 1 = 4.
2) ضرب مقدارين جبريين (التوزيع):
• فرع أ: دالة كسرية، نجعل المقام لا يساوي صفراً (x - 3 = 0 ➔ x = 3)، إذن أوسع مجال للدالة هو: R \ {3}.
• فرع ب:
1) 3 + (√7 / √7) = 3 + 1 = 4.
2) ضرب مقدارين جبريين (التوزيع):
(3x + 4)(x - 2) = 3x2 - 6x + 4x - 8 = 3x2 - 2x - 8
س4 / مثّل الدالة بيانياً مستخدماً الدالة الرئيسية الأم وحدد مجالها:
f(x) = [[x]] + 1
الحل النموذجي:
• المجال: R (مجموعة الأعداد الحقيقية كاملة).
• المدى: Z (مجموعة الأعداد الصحيحة).
• طريقة التمثيل: الدالة الأم هي دالة أكبر عدد صحيح [[x]]. الدالة المطلوبة تمثل تحويلاً هندسياً (إزاحة رأسية للأعلى بمقدار وحدة واحدة k = +1). نرسم قطعاً مستقيمة أفقية مغلقة من اليسار ومفتوحة من اليمين بطول وحدة واحدة لكل فترة: عند [-1, 0) تكون y = 0، وعند [0, 1) تكون y = 1، وعند [1, 2) تكون y = 2.
• المجال: R (مجموعة الأعداد الحقيقية كاملة).
• المدى: Z (مجموعة الأعداد الصحيحة).
• طريقة التمثيل: الدالة الأم هي دالة أكبر عدد صحيح [[x]]. الدالة المطلوبة تمثل تحويلاً هندسياً (إزاحة رأسية للأعلى بمقدار وحدة واحدة k = +1). نرسم قطعاً مستقيمة أفقية مغلقة من اليسار ومفتوحة من اليمين بطول وحدة واحدة لكل فترة: عند [-1, 0) تكون y = 0، وعند [0, 1) تكون y = 1، وعند [1, 2) تكون y = 2.
توجيه دراسي هام: أسئلة الفصل الأول للرابع العلمي ترتكز بشكل أساسي على التمييز بين أنواع الفترات والعمليات عليها، ضبط إشارات المتباينات من الدرجة الثانية، وفهم التحويلات الهندسية للدوال الرئيسة (الانسحاب والانعكاس)، والتدرب على هذه النماذج يضمن للطالب نيل الدرجة الكاملة.
نماذج امتحانية معتمدة لمادة الرياضيات - الصف الرابع العلمي | تمنياتنا لجميع طلبتنا بالنجاح والتفوق الدائم.