الدوال الأم الرئيسية: شرح الدالة السلمية (الدرجية) - رياضيات الرابع العلمي (المنهج الجديد 2027)
الفصل الأول: الدوال الحقيقية
إعداد الأستاذ: وسام الشريفي
منهج 2027
تُعد الدالة السلمية (الدرجية) وتُعرف أيضاً بـ دالة أكبر عدد صحيح (Greatest Integer Function) من أهم الدوال الأم الرئيسية المقررة في منهج الرياضيات للصف الرابع العلمي للعام الدراسي 2027. نقدم لكم شرحاً مبسطاً لقاعدتها الرياضية، وكيفية إيجاد نواتج الأعداد الصحيحة والعشرية، بالإضافة إلى التمثيل البياني والتحويلات الهندسية المرتبطة بها.
أولاً: مفهوم الدالة السلمية (الدرجية) وقاعدتها العامة
التعريف الرياضي للدالة:
تُعرف الدالة بأنها تطبيق من مجموعة الأعداد الحقيقية إلى مجموعة الأعداد الصحيحة:
f: ℝ ➔ ℤ , f(x) = [[x]]
• المعنى اللفظي: المقدار [[x]] يعني أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي x.
• المجال (Domain): مجموعة الأعداد الحقيقية كاملة ℝ.
• المدى (Range): مجموعة الأعداد الصحيحة ℤ.
سبب التسمية: تسمى "سلمية" أو "درجية" لأن تمثيلها البياني في المستوي الإحداثي يظهر على شكل درجات متتابعة تشبه السلم تماماً.
القاعدة التحليلية على الفترات:
إذا كان f(x) = [[x]] = n فإن: n ≤ x < n + 1 أي الفترة: [n , n + 1)
ثانياً: قواعد حساب ناتج الدالة السلمية لجميع الحالات
يوضح الجدول المعتمد من ملزمة الأستاذ وسام الشريفي كيفية استخراج الناتج بدقة بحسب نوع العدد المدخل:
| عدد صحيح فقط | صفر صحيح مع أعشار | عدد صحيح موجب مع أعشار | عدد صحيح سالب مع أعشار |
|---|---|---|---|
| العدد نفسه | الناتج صفر | نحذف الأعشار ونضع الصحيح | نحذف الأعشار وننزل بالسالب (نطرح 1) |
| [[2]] = 2 | [[0.55]] = 0 | [[4.33]] = 4 | [[-5.7]] = -6 |
| [[5]] = 5 | [[0.3]] = 0 | [[9.11]] = 9 | [[-3.142]] = -4 |
| [[-4]] = -4 | [[0.13]] = 0 | [[8.55]] = 8 | [[-7.4]] = -8 |
| [[-8]] = -8 | [[0.79]] = 0 | [[55.1]] = 55 | [[-15.014]] = -16 |
| [[10]] = 10 | [[0.43]] = 0 | [[7.4198]] = 7 | - |
| [[11]] = 11 | [[0.88]] = 0 | - | - |
| [[-9]] = -9 | [[0.415]] = 0 | - | - |
| [[-33]] = -33 | [[0.217]] = 0 | - | - |
ثالثاً: أمثلة وزارية وتدريبية محلولة
مثال: جد ناتج الدالة السلمية لكل مما يأتي:
(1) [[3.6]] = 3
(2) [[-2.5]] = -3
(3) [[0.4]] = 0
(4) [[7.4]] = 7
(2) [[-2.5]] = -3
(3) [[0.4]] = 0
(4) [[7.4]] = 7
(5) [[0.111]] = 0
(6) [[-4.2]] = -5
(7) [[15]] = 15
(6) [[-4.2]] = -5
(7) [[15]] = 15
رابعاً: التمثيل البياني للدالة السلمية وتحويلاتها الهندسية
لرسم الدالة السلمية، نقسم مستقيم الأعداد إلى فترات جزئية نصف مغلقة طول كل منها وحدة واحدة [n, n+1):
1. الدالة الأم: y = [[x]]
الفترات: [-2, -1) ; [-1, 0) ; [0, 1) ; [1, 2)
| الفترات | y = [[x]] | y |
|---|---|---|
| -2 ≤ x < -1 | y = [[-2]] | -2 |
| -1 ≤ x < 0 | y = [[-1]] | -1 |
| 0 ≤ x < 1 | y = [[0]] | 0 |
| 1 ≤ x < 2 | y = [[1]] | 1 |
المجال = ℝ
2. الدالة المحولة: f(x) = [[x]] + 1
(تحويل هندسي: إزاحة رأسية للأعلى بمقدار 1 وحدة)
| الفترات | y = [[x]] + 1 | y |
|---|---|---|
| -2 ≤ x < -1 | y = [[-2]] + 1 | -1 |
| -1 ≤ x < 0 | y = [[-1]] + 1 | 0 |
| 0 ≤ x < 1 | y = [[0]] + 1 | 1 |
| 1 ≤ x < 2 | y = [[1]] + 1 | 2 |
المجال = ℝ
ملزمة الرياضيات - الصف الرابع العلمي | إعداد الأستاذ وسام الشريفي | تمنياتنا لجميع الطلبة بالتفوق والنجاح التام.